Ecuaciones no lineales

Dos equipos encontraron diferentes formas para que las computadoras cuánticas procesen sistemas no lineales al disfrazarlos primero como lineales.

por Max G. Levy

A veces, es fácil para una computadora predecir el futuro. Los fenómenos simples, como la forma en que la savia fluye por el tronco de un árbol, son sencillos y se pueden capturar en unas pocas líneas de código utilizando lo que los matemáticos llaman ecuaciones diferenciales lineales. Pero en los sistemas no lineales, las interacciones pueden afectarse a sí mismas: cuando el aire pasa por las alas de un avión, el flujo de aire altera las interacciones moleculares, que alteran el flujo de aire, etc. Este ciclo de retroalimentación genera caos, donde pequeños cambios en las condiciones iniciales conducen a comportamientos tremendamente diferentes más adelante, lo que hace que las predicciones sean casi imposibles, sin importar cuán poderosa sea la computadora.

“Esto es parte de por qué es difícil predecir el clima o comprender el flujo de fluidos complicado”, dijo Andrew Childs , investigador de información cuántica de la Universidad de Maryland. “Hay problemas computacionales difíciles que podrías resolver si pudieras [descubrir] estas dinámicas no lineales”.

Eso puede ser posible pronto. En estudios separados publicados en noviembre, dos equipos, uno dirigido por Childs y el otro con sede en el Instituto de Tecnología de Massachusetts, describieron herramientas poderosas que permitirían a las computadoras cuánticas modelar mejor la dinámica no lineal.

Las computadoras cuánticas aprovechan los fenómenos cuánticos para realizar ciertos cálculos de manera más eficiente que sus contrapartes clásicas. Gracias a estas habilidades, ya pueden derribar ecuaciones diferenciales lineales complejas exponencialmente más rápido que las máquinas clásicas. Los investigadores han esperado durante mucho tiempo poder controlar de manera similar los problemas no lineales con algoritmos cuánticos inteligentes.

Los nuevos enfoques disfrazan esa no linealidad como un conjunto más digerible de aproximaciones lineales, aunque sus métodos exactos varían considerablemente. Como resultado, los investigadores ahora tienen dos formas distintas de abordar los problemas no lineales con las computadoras cuánticas.

“Lo interesante de estos dos artículos es que encontraron un régimen en el que, dadas algunas suposiciones, tienen un algoritmo que es eficiente”, dijo Mária Kieferová , investigadora de computación cuántica en la Universidad de Tecnología de Sydney, que no está afiliada a ninguno de los estudios. . “Esto es realmente emocionante y [ambos estudios] utilizan técnicas realmente agradables”.

El costo del caos

Los investigadores de información cuántica han intentado utilizar ecuaciones lineales como clave para desbloquear las diferenciales no lineales durante más de una década. Un gran avance se produjo en 2010, cuando Dominic Berry , ahora en la Universidad Macquarie en Sydney, construyó el primer algoritmo para resolver ecuaciones diferenciales lineales exponencialmente más rápido en computadoras cuánticas, en lugar de clásicas. Pronto, el propio enfoque de Berry también se centró en las ecuaciones diferenciales no lineales.

“Habíamos trabajado un poco en eso antes”, dijo Berry. “Pero fue muy, muy ineficiente”.

Foto de Andrew Childs de pie frente a una pizarra llena de matemáticas
Andrew Childs, de la Universidad de Maryland, dirigió uno de los dos esfuerzos para permitir que las computadoras cuánticas modelen mejor la dinámica no lineal. El algoritmo de su equipo convirtió estos sistemas caóticos en una serie de ecuaciones lineales más comprensibles utilizando una técnica llamada linealización de Carleman.John T. Consoli / Universidad de Maryland

El problema es que la física subyacente a las computadoras cuánticas es en sí misma fundamentalmente lineal. “Es como enseñarle a volar a un automóvil”, dijo Bobak Kiani, coautor del estudio del MIT.

Entonces, el truco consiste en encontrar una manera de convertir matemáticamente un sistema no lineal en uno lineal. “Queremos tener algún sistema lineal porque eso es lo que tiene nuestra caja de herramientas”, dijo Childs. Los grupos hicieron esto de dos formas diferentes.

El equipo de Childs utilizó la linealización de Carleman, una técnica matemática pasada de moda de la década de 1930, para transformar problemas no lineales en una serie de ecuaciones lineales.

Desafortunadamente, esa lista de ecuaciones es infinita. Los investigadores deben averiguar dónde pueden cortar la lista para obtener una aproximación suficientemente buena. “¿Me detengo en la ecuación número 10? ¿Número 20? dijo Nuno Loureiro , físico de plasma del MIT y coautor del estudio de Maryland. El equipo demostró que para un rango particular de no linealidad, su método podía truncar esa lista infinita y resolver las ecuaciones.

El documento dirigido por el MIT adoptó un enfoque diferente. Modeló cualquier problema no lineal como un condensado de Bose-Einstein. Este es un estado de la materia en el que las interacciones dentro de un grupo de partículas ultrafrías hacen que cada partícula individual se comporte de manera idéntica. Dado que todas las partículas están interconectadas, el comportamiento de cada partícula influye en el resto, retroalimentando a esa partícula en un bucle característico de no linealidad.

El algoritmo del MIT imita este fenómeno no lineal en una computadora cuántica, utilizando las matemáticas de Bose-Einstein para conectar la linealidad y la no linealidad. Entonces, al imaginar un pseudo condensado de Bose-Einstein hecho a medida para cada problema no lineal, este algoritmo deduce una aproximación lineal útil. “Dame tu ecuación diferencial no lineal favorita, luego te construiré un condensado de Bose-Einstein que lo simulará”, dijo Tobias Osborne , científico de información cuántica de la Universidad Leibniz de Hannover, que no participó en ninguno de los estudios. “Esta es una idea que realmente me encantó”.

Un modelo de computadora colorido de un condensado de Bose-Einstein contra un fondo negro
El algoritmo del equipo dirigido por el MIT modeló cualquier problema no lineal como un condensado de Bose-Einstein, un estado exótico de la materia donde las partículas interconectadas se comportan todas de manera idéntica.NIST

Berry cree que ambos artículos son importantes de diferentes maneras (no participó en ninguno de los dos). “Pero en última instancia, la importancia de ellos es demostrar que es posible aprovechar [estos métodos] para obtener el comportamiento no lineal”, dijo.

Conociendo los límites de uno

Si bien estos son pasos importantes, todavía se encuentran entre los primeros en romper sistemas no lineales. Es probable que más investigadores analicen y perfeccionen cada método, incluso antes de que el hardware necesario para implementarlos se convierta en realidad. “Con ambos algoritmos, realmente estamos mirando hacia el futuro”, dijo Kieferová. Usarlos para resolver problemas prácticos no lineales requiere computadoras cuánticas con miles de qubits para minimizar el error y el ruido, mucho más allá de lo que es posible hoy en día.

Y ambos algoritmos pueden manejar de manera realista solo problemas levemente no lineales. El estudio de Maryland cuantifica exactamente cuánta no linealidad puede manejar con un nuevo parámetro, R, que representa la relación entre la no linealidad de un problema y su linealidad: su tendencia al caos frente a la fricción que mantiene al sistema sobre los rieles.

“[El estudio de Childs es] matemáticamente riguroso. Él da declaraciones muy claras de cuándo funcionará y cuándo no funcionará ”, dijo Osborne. “Creo que eso es muy, muy interesante. Esa es la contribución principal “.

El estudio dirigido por el MIT no prueba rigurosamente ningún teorema para vincular su algoritmo, según Kiani. Pero el equipo planea aprender más sobre las limitaciones del algoritmo ejecutando pruebas a pequeña escala en una computadora cuántica antes de pasar a problemas más desafiantes.

La salvedad más importante para ambas técnicas es que las soluciones cuánticas difieren fundamentalmente de las clásicas. Los estados cuánticos corresponden a probabilidades más que a valores absolutos, por lo que en lugar de visualizar el flujo de aire alrededor de cada segmento del fuselaje de un avión, por ejemplo, extrae velocidades promedio o detecta bolsas de aire estancado. “Este hecho de que la salida sea mecánica cuántica significa que todavía tienes que hacer muchas cosas después para analizar ese estado”, dijo Kiani.

Es vital no prometer demasiado lo que pueden hacer las computadoras cuánticas, dijo Osborne. Pero los investigadores están destinados a probar muchos algoritmos cuánticos exitosos como estos en problemas prácticos en los próximos cinco a 10 años. “Vamos a intentar todo tipo de cosas”, dijo. “Y si pensamos en las limitaciones, eso podría limitar nuestra creatividad”.

Fuente: https://www.quantamagazine.org/new-quantum-algorithms-finally-crack-nonlinear-equations-20210105/

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